Question

已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，棱AB＝BC＝3， ，連B，過點B作B1C的垂線，垂足為E且交CC1于F． (1) 求證：A1C⊥BF； (2) 求證：AC1∥平面BDF； (3) 求二面角F－BD－C的大小

Answer 1

答案：
解析：

(1)	證明：在長方體中，A1B1^ 面BC1，B1C為A1C在面BC1內(nèi)的射影，BFÌ 面BC1，且BF^ B1C， ∴(3分)
(2)	證明：∵AB＝BC＝3，，在RtD B1BC中，B1C＝， ∵BF^ B1C于E，∴BC2＝CE× CB1，得CE＝，由D BB1E∽D FCE得＝，即F為C1C的中點．(7分) 連接AC交BD于O，則O為AC中點，連接OF，則OF∥AC1， ∵AC1Ë 面BDF，OFÌ 面BDF，∴∥平面BDF．(9分)
(3)	解：在長方體中，C1C^ 面AC，OC為OF在面AC內(nèi)的射影，BDÌ 面AC，且BD^ AC，∴BD^ OF，∴∠FOC為二面角F－BD－C的平面角．(11分) 在Rt△ABC中，OC＝AC＝，CF＝C1C＝，∴OC＝CF，∴∠FOC＝45° ∴二面角F－BD－C的大小為45°(13分)