Question

（2011•藍(lán)山縣模擬）設(shè)集合A={x|x²-（a+1）x+a＜0}，B={x|

2x+1

x-2

＞0}．
（1）當(dāng)a=3時，求A∩B；
（2）若A⊆?_RB，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）解分式不等式求出集合B，解一元二次不等式求出集合A，根據(jù)兩個集合的交集的定義求出A∩B．
（2）先根據(jù)補(bǔ)集的定義求出?_RB=[-

1

2

，2]，再根據(jù)A⊆?_RB，分a＞1、a=1、a＜1三種情況，分別由 A⊆?_RB 求出a的取值范圍，再取并集即得所求．

解答：解：（1）∵B={x|

2x+1

x-2

＞0}={x|(2x+1)(x-2)＞0}={x|x＜-

1

2

，或x＞2}=（-∞，-

1

2

）∪（2，+∞）．
當(dāng)a=3時，A={x|x²-4x+3＜0}={x|（x-3）（x-1）＜0 }={x|1＜x＜3}=（1，3），
∴A∩B=（2，3）．
（2）因B={x|x＜-

1

2

，或x＞2}=（-∞，-

1

2

）∪（2，+∞），
∴?_RB=[-

1

2

，2]．
再由集合A={x|x²-（a+1）x+a＜0}={x|（x-1）（x-a）＜0}，
當(dāng)a＞1時，A=（1，a+1），且 A⊆?_RB，可得 

a＞1 a≤2

，解得1＜a≤2．
當(dāng)a=1時，A=∅，顯然滿足  A⊆?_RB．
當(dāng)a＜1時，A=（a，1），且 A⊆?_RB，可得 

a＜1 a≥- 1 2

，解得 1＞a≥-

1

2

．
綜上可得2≥a≥-

1

2

，
∴a的取值范圍為[-

1

2

，2]．

點(diǎn)評：本題主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，集合的補(bǔ)集，兩個集合的交集、并集的定義和求法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．