已知函數(shù)f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是的f(x)的導函數(shù).
(Ⅰ)對滿足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(shù)(x)<0,求實數(shù)x的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)a=-m2,當實數(shù)m在什么范圍內(nèi)變化時,函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=3只有一個公共點.
【答案】
分析:(I )將g(x)=3x
2-ax+3a-5<0對滿足-1≤a≤1的一切a的值成立,轉(zhuǎn)化為令(3-x)a+3x
2-5<0,-1≤a≤1成立解決.
(Ⅱ)函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=3只有一個公共點.關(guān)鍵是畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,方法是先f′(x)=3x
2-3m
2分①當m=0時,f(x)=x
3-1的圖象與直線y=3只有一個公共點②當m≠0時,求得極值,明確關(guān)鍵點,再利用圖象間的關(guān)系求解.
解答:解:(Ⅰ)由題意g(x)=3x
2-ax+3a-5
令φ(x)=(3-x)a+3x
2-5,-1≤a≤1
對-1≤a≤1,恒有g(shù)(x)<0,即φ(a)<0
∴
即
解得
故
時,對滿足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(shù)(x)<0
(Ⅱ)f′(x)=3x
2-3m
2①當m=0時,f(x)=x
3-1的圖象與直線y=3只有一個公共點
②當m≠0時,f(x)
極小=f(|x|)=-2m
2|m|-1<-1
又∵f(x)的值域是R,且在(|m|,+∞)上單調(diào)遞增
∴當x>|m|時函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=3只有一個公共點.
當x<|m|時,恒有f(x)≤f(-|m|)
由題意得f(-|m|)<3
即2m
2|m|-1=2|m|
3-1<3
解得
綜上,m的取值范圍是
點評:本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的應(yīng)用、解不等式等基礎(chǔ)知識,以及推理能力、運算能力和綜合應(yīng)用數(shù)學知識的能力.