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對于任意的（不超過數列的項數），若數列的前項和等于該數列的前項之積，則稱該數列為型數列。

（1）若數列是首項的型數列，求的值；

（2）證明：任何項數不小于3的遞增的正整數列都不是型數列；

（3）若數列是型數列，且試求與的遞推關系，并證明對恒成立。

 

【答案】

（1） （2）證明如下　（3），證明如下.

【解析】

試題分析：（1）新信息題的解答嚴格按照給的信息作答；（2)構造任意一個遞增的正整數數列來解決；（3）按照型數列的定義來做.

試題解析:（1）由題意可得即所以又即２+２+＝４，所以＝

（2）設任意一個遞增的正整數數列若則由題意可得即該等式不成立，所以所以即因為所以對一切的成立.

因此任何項數不小于3的遞增的正整數列都不是型數列；

 

（3）因為數列是型數列，所以①.于是②.兩式相減，得③.則④.兩式相除，得整理，得因為所以綜上所述，與的遞推關系為因為所以當時，若則所以對恒成立.

考點：1、新信息題中對信息的把握能力，2、數列的相關知識及其應用.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對于n∈N*（n≥2），定義一個如下數陣：Ann=
a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
an1an2…ann
，其中對任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當i能整除j時，aij=1；當i不能整除j時，aij=0．設t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj．
（Ⅰ）當n=6時，試寫出數陣A66并計算
6
j=1
t(j)；
（Ⅱ）若[x]表示不超過x的最大整數，求證：
n
j=1
t(j)=
n
i=1
[ 
n
i
 ]；
（Ⅲ）若f(n)=
1
n
n
j=1
t(j)，g(n)=
∫
n
1
1
x
dx，求證：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•東城區(qū)一模）對于n∈N*（n≥2），定義一個如下數陣：Ann=
a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
an1an2…ann

其中對任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當i能整除j時，aij=1；當i不能整除j時，aij=0．
（Ⅰ）當n=4時，試寫出數陣A44；
（Ⅱ）設t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj．若[x]表示不超過x的最大整數，
求證：
n
j=1
t(j)=
n
i=1
[ 
n
i
 ]．

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科目：高中數學 來源：2011屆北京東城區(qū)模擬考試高三數學（一）（理科） 題型：解答題

對于，定義一個如下數陣：

其中對任意的，，當能整除時，；當不能整除時，．設．
（Ⅰ）當時，試寫出數陣并計算；
（Ⅱ）若表示不超過的最大整數，求證：；
（Ⅲ）若，，求證：．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年北京東城區(qū)模擬考試高三數學（一）（理科） 題型：解答題

對于，定義一個如下數陣：

其中對任意的，，當能整除時，；當不能整除時，．設．

（Ⅰ）當時，試寫出數陣并計算；

（Ⅱ）若表示不超過的最大整數，求證：；

（Ⅲ）若，，求證：．

 

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