Question

某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R（x）=

400x- 1 2 x2，0≤x≤400 80000，x＞400

，其中x是儀器的月產(chǎn)量．（注：總收益=總成本+利潤）
（1）將利潤x表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；
（2）當月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)利潤=收益-成本，由已知分兩段當0≤x≤400時，和當x＞400時，求出利潤函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)分段函數(shù)的表達式，分別求出函數(shù)的最大值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由于月產(chǎn)量為x臺，則總成本為20000+100x，
從而利潤f（x）=

300x- 1 2 x2-20000， 0≤x≤400 60000-100x， x＞400

；
（2）當0≤x≤400時，f（x）=300x-

1

2

x2-20000=-

1

2

（x-300）²+25000，
∴當x=300時，有最大值25000；
當x＞400時，f（x）=60000-100x是減函數(shù)，
∴f（x）=60000-100×400＜25000．
∴當x=300時，有最大值25000，
即當月產(chǎn)量為300臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是25000元．

點評：本題主要考查函數(shù)的應用問題，根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系，利用分段函數(shù)的表達式結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．