Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-ax+1）e^ax，其中a∈R，x∈R若函數(shù)．y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與X軸平行．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時，設(shè)g（x）=lnf（x），當(dāng)，x∈（1，+∞）時，函數(shù)g（x）圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由所給函數(shù)的表達(dá)式，求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由平行直線的斜率相等方程求a的值即可；
（Ⅱ）對參數(shù)a進(jìn)行分類，令導(dǎo)數(shù)fˊ（x）＞0，解不等式即可求出f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）先由（Ⅰ）得出a的值，然后假設(shè)存在兩點(diǎn)使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)k₁•k₂=-1，列出關(guān)于x₁、x₂的不等式，推出矛盾就可得出結(jié)論．

解答：解：f′（x）=e^ax[ax²-（a²-2）x]
（1）因為f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行．
f′（1）=0，即a-a²+2=0
解得a=-1或2
（2）由f′（x）=e^ax[ax²-（a²-2）x]得
①a=2時，f′（x）=e^2x_（2x²-2x）
由f′（x）＞0得
x＞1或x＜0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）
②a=-1時，令f′（x）＞0得0＜x＜1
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是 （-∞，0）和（1，+∞）
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時，由（1）知a=2
∵g（x）=lnf（x）=ln（x²-2x+1）+2x
假設(shè)存在兩點(diǎn)A、B，使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則由
g′（x）=

1

x2-2x+1

•(2x-2)+2=

2x

x-1

知斜率k₁=g′（x₁）=

2x1

x1-1

  k₂=g′（x₂）=

2x2

x2-1

且k₁•k_2^=-1
∵x∈（1，+∞）
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0
∴

2x1

x1- 1

•

2x2

x2-1

＞0，因此上式矛盾！故假設(shè)不成立．
∴函數(shù)上不存在兩點(diǎn)A、B，使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、兩條直線平行的判定等基礎(chǔ)知識，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查推理能力．