Question

15．如圖，四邊形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．
（1）求證：AC∥DE；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，試判別四邊形BCEF的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性質(zhì)可得AB∥CD，因此∠DCA=∠CAB，可得∠EDC=∠DCA，即可證明AC∥DE．
（2）通過(guò)證明△ABF≌△DCE，BF=CE，及其BF∥CE，即可證明．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∴∠DCA=∠CAB，
∵∠EDC=∠CAB，∴∠EDC=∠DCA，
∴AC∥DE．
（2）解：四邊形BCEF是平行四邊形．以下給出證明：
∵BF⊥AC∴∠BFC=∠AFB=90°．
∵∠DEC=90，AC∥DE，∴∠ACE=180-∠DEC=90°．
∴∠ACE=∠BFC，∴BF∥CE．
∵AB=CD，∠EDC=∠CAB，∠DEC=∠AFB=90°．
∴△ABF≌△DCE （AAS），
∴BF=CE，
∴四邊形BCEF平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形與矩形的判定與性質(zhì)定理、三角形全等的判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．