Question

10．已知點A是拋物線x²=4y的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點F為拋物線的焦點，P在拋物線上且滿足|PA|=m|PF|，當(dāng)m取最大值時|PA|的值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結(jié)合|PA|=m|PF|，設(shè)PA的傾斜角為α，則當(dāng)m取得最大值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，求出P的坐標(biāo)，即可求得|PA|的值．

解答 解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y，
則拋物線的焦點為F（0，1），準(zhǔn)線方程為y=-1，
過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，
則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，
∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，
設(shè)PA的傾斜角為α，則sinα=$\frac{1}{m}$，
當(dāng)m取得最大值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，
設(shè)直線PA的方程為y=kx-1，代入x²=4y，
可得x²=4（kx-1），
即x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，∴k=±1，
∴P（2，1），
∴|PA|=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$．
故選D．

點評 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解答此題的關(guān)鍵是明確當(dāng)m取得最大值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，屬中檔題．