Question

10．已知xy＞0，則$\frac{y}{x+y}+\frac{2x}{2x+y}$的最小值為（　�。�

• A． $4+2\sqrt{2}$
• B． $4-2\sqrt{2}$
• C． $2+\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 xy＞0，則$\frac{y}{x+y}+\frac{2x}{2x+y}$=$\frac{1}{\frac{x}{y}+1}$+$\frac{2×\frac{x}{y}}{2×\frac{x}{y}+1}$，令$\frac{x}{y}$=t＞0，則$\frac{1}{t+1}$+$\frac{2t}{2t+1}$=f（t），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：∵xy＞0，則$\frac{y}{x+y}+\frac{2x}{2x+y}$=$\frac{1}{\frac{x}{y}+1}$+$\frac{2×\frac{x}{y}}{2×\frac{x}{y}+1}$，
令$\frac{x}{y}$=t＞0，則$\frac{1}{t+1}$+$\frac{2t}{2t+1}$=f（t），
f′（t）=$\frac{-1}{（t+1）^{2}}$+$\frac{2}{（2t+1）^{2}}$=$\frac{2（t+\frac{\sqrt{2}}{2}）（t-\frac{\sqrt{2}}{2}）}{（t+1）^{2}（2t+1）^{2}}$，
可知：當(dāng)t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，函數(shù)f（t）取得極小值即最小值，$f（\frac{\sqrt{2}}{2}）$=4-2$\sqrt{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．