Question

設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₂=2，a₃a₄a₅=2⁹．
（1）求首項a₁和公比q的值；
（2）試證明數(shù)列{log_ma_n}（m＞0且m≠1）為等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，化簡a₃a₄a₅=2⁹，得到a₄的值，然后利用a₄比上a₂，即可列出關(guān)于公比q的方程，求出方程的解得到q的值，然后由a₄的值和q的值即可求出首項a₁的值；
（2）把（1）求出的通項公式代入數(shù)列{log_ma_n}中，得到b_n的通項公式，表示出b_n+1-b_n的差，利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡后，得到其差為常數(shù)，從而得到數(shù)列{log_ma_n}為等差數(shù)列．

解答：解：（1）∵a₃a₄a₅=（a₄）³=2⁹⇒a₄=2³=8（a₄＞0），（3分）
∴

a4

a2

=q2=4⇒q=2，（5分）
又由a₄=a₁q³，即8=a₁•2³，解得a₁=1．（7分）
（2）證明：由（1）知，a_n=2^n-1．（9分）
設(shè)b_n=log_ma_n，則b_n=log_m2^n-1=（n-1）log_m2．（12分）
∵b_n+1-b_n=nlog_m2-（n-1）log_m2=log_m2=常數(shù)，
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，即數(shù)列{log_ma_n}（m＞0且m≠1）為等差數(shù)列．（14分）

點評：此題要求學(xué)生掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，靈活運用等比數(shù)列的通項公式化簡求值，掌握等差數(shù)列的確定方法．學(xué)生做題時注意等比數(shù)列{a_n}的各項為正數(shù)，熟練運用對數(shù)的運算性質(zhì)．