Question

函數(shù)y=f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且對任意的x∈R，均有f（x+4）=f（x）成立．當x∈（0，2）時，f（x）=-x²+2x+1．
（Ⅰ）當x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）時，求函數(shù)f（x）的表達式；
（Ⅱ）求不等式f(x)＞

3

2

的解集．

Answer 1

（Ⅰ）當x=0時，∵f（0）=-f（0），∴f（0）=0
當x∈（-2，0）時，-x∈（0，2），f（x）=-f（-x）=-（x²-2x+1）=x²+2x-1．
由f（x+4）=f（x）知f（x）為周期函數(shù)，且T=4．
當x∈[4k-2，4k）（k∈Z）時，x-4k∈[-2，0），
f（x）=f（x-4k）=（x-4k）²+2（x-4k）-1．
當x∈[4k，4k+2]）（k∈Z）時，x-4k∈[0，2]，
f（x）=f（x-4k）=-（x-4k）²+2（x-4k）+1．
故當x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）時，（x-4k）²+2（x-4k）-1
f（x）=

(x-4k)2+2(x-4k)-1，x∈[4k-2，4k) 0x=4k -(x-4k)2+2(x-4k)+1，x∈(4k，4k+2]

（Ⅱ）當x∈[-2，2]時，由f(x)＞

3

2

，得

-2≤x＜0 x2+2x-1＞ 3 2

或

0＜x≤2 -x2+2x+1＞ 3 2

解得1-

2

2

＜x＜1+

2

2

，因為f（x）是以4為周期的函數(shù)，所以不等式f(x)＞

3

2

的解集是{x|4k+1-

2

2

＜x＜4k+1+

2

2

}