Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n和通項(xiàng)a_n滿足（q是常數(shù)且q＞0，q≠1，）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)時(shí)，試證明a₁+a₂+…+a_n＜；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），是否存在正整數(shù)m，使對(duì)任意n∈N^*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（a_n-1-1）（2分）
?（2分）
又由S₁=a₁=（a₁-1）得a₁=q（3分）
∴數(shù)列a_n是首項(xiàng)a₁=q、公比為q的等比數(shù)列，∴a_n=q•q^n-1=qⁿ（5分）
（2）（7分）
=（9分）

（3）b_n=log_qa₁+log_qa₂+log_qa_n=log_q（a₁a₂a_n）=（9分）
∴=（11分）
∴，即
∵n=1時(shí)，
∴m≤3（14分）
∵m是正整數(shù)，
∴m的值為1，2，3．（16分）
分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1=（a_n-1-1），知，由S₁=a₁=（a₁-1）得a₁=q，由此知a_n=q•q^n-1=qⁿ．
（2），由此能證明出a₁+a₂+…+a_n＜．
（3）b_n=log_qa₁+log_qa₂+log_qa_n=log_q（a₁a₂a_n）=，=，所以，由此能求出m的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和不等式的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用．