【題目】已知直線是拋物線
的準(zhǔn)線,直線
,且
與拋物線
沒(méi)有公共點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)
在拋物線
上,點(diǎn)
到直線
和
的距離之和的最小值等于2.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)點(diǎn)在直線
上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)
做拋物線
的兩條切線,切點(diǎn)分別為
,在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)
,使得
恒成立?若存在,請(qǐng)求出定點(diǎn)
的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) (2) 存在定點(diǎn)
,使得
恒成立
【解析】試題分析:(Ⅰ)作分別垂直
和
,垂足為
,拋物線
的焦點(diǎn)為
,根據(jù)拋物線的定義可得
的最小值即為點(diǎn)
到直線
的距離,故
,從而可得結(jié)果;(Ⅱ)設(shè)
,
,
,
,利用導(dǎo)數(shù)得到切線斜率,可設(shè)出切線方程,根據(jù)點(diǎn)
在切線上可得到
和
是一元二次方程
的根,利用韋達(dá)定理以及平面向量數(shù)量積公式,可得
時(shí)
,從而可得結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)作分別垂直
和
,垂足為
,拋物線
的焦點(diǎn)為
,
由拋物線定義知,所以
,
顯見(jiàn)的最小值即為點(diǎn)
到直線
的距離,故
,
所以拋物線的方程為
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直線的方程為
,當(dāng)點(diǎn)
在特殊位置
時(shí),顯見(jiàn)兩個(gè)切點(diǎn)
關(guān)于
軸對(duì)稱(chēng),故要使得
,點(diǎn)
必須在
軸上.
故設(shè),
,
,
,
拋物線的方程為
,求導(dǎo)得
,所以切線
的斜率
,
直線的方程為
,又點(diǎn)
在直線
上,
所以,整理得
,
同理可得,
故和
是一元二次方程
的根,由韋達(dá)定理得
,
,
可見(jiàn)時(shí),
恒成立,
所以存在定點(diǎn),使得
恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某教師調(diào)查了名高三學(xué)生購(gòu)買(mǎi)的數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書(shū)的數(shù)量,將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)制成如下表格:
男生 | 女生 | 總計(jì) | |
購(gòu)買(mǎi)數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書(shū)超過(guò) | |||
購(gòu)買(mǎi)數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書(shū)不超過(guò) | |||
總計(jì) |
(Ⅰ)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書(shū)的數(shù)量與性別相關(guān);
(Ⅱ)從購(gòu)買(mǎi)數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書(shū)不超過(guò)本的學(xué)生中,按照性別分層抽樣抽取
人,再?gòu)倪@
人中隨機(jī)抽取
人詢(xún)問(wèn)購(gòu)買(mǎi)原因,求恰有
名男生被抽到的概率.
附: ,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),則下列結(jié)論正確的是( )
A.當(dāng)時(shí),函數(shù)
在
上有最小值;
B.當(dāng)時(shí),函數(shù)
在
上有最小值;
C.對(duì)任意的實(shí)數(shù),函數(shù)
的圖象關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱(chēng);
D.方程可能有三個(gè)實(shí)數(shù)根.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)求函數(shù)的零點(diǎn)和極值;
(3)若對(duì)任意,都有
成立,求實(shí)數(shù)
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體中,ABC﹣A1B1C1為三棱柱,且AA1⊥平面ABC,四邊形ABCD為平行四邊形,AD=2CD,∠ADC=60°.
(1)若AA1=AC,求證:AC1⊥平面A1B1CD;
(2)若CD=2,AA1=λAC,二面角A﹣C1D﹣C的余弦值為 ,求三棱錐C1﹣A1CD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)各自的分班情況,老師說(shuō):你們四人中有位分到
班,
位分到
班,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的班級(jí),給乙看丙的班級(jí),給丁看甲的班級(jí).看后甲對(duì)大家說(shuō):我還是不知道我的班級(jí),根據(jù)以上信息,則( )
A. 乙可以知道四人的班級(jí) B. 丁可以知道四人的班級(jí)
C. 乙、丁可以知道對(duì)方的班級(jí) D. 乙、丁可以知道自己的班級(jí)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐的底面
是正方形,
底面
.
(1)求證:直線平面
;
(2)當(dāng)的值為多少時(shí),二面角
的大小為
?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)P(x,y)不是原點(diǎn)時(shí),定義P的“伴隨點(diǎn)”為P′( ,
);當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí),定義P的“伴隨點(diǎn)”為它自身,平面曲線C上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題:
①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′,則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A;
②單位圓的“伴隨曲線”是它自身;
③若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),則其“伴隨曲線”C′關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);
④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.
其中的真命題是(寫(xiě)出所有真命題的序列).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)已知是奇函數(shù),求常數(shù)m的值;
(2)畫(huà)出函數(shù)的圖象,并利用圖象回答:k為何值時(shí),方程
無(wú)解?有一解?有兩解?
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