Question

（2012•上海）某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外環(huán)線同時(shí)運(yùn)行，內(nèi)、外環(huán)線的長(zhǎng)均為30千米（忽略內(nèi)、外環(huán)線長(zhǎng)度差異）．
（1）當(dāng)9列列車同時(shí)在內(nèi)環(huán)線上運(yùn)行時(shí)，要使內(nèi)環(huán)線乘客最長(zhǎng)候車時(shí)間為10分鐘，求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度；
（2）新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為25千米/小時(shí)，外環(huán)線列車平均速度為30千米/小時(shí)．現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18列列車全部投入運(yùn)行，要使內(nèi)外環(huán)線乘客的最長(zhǎng)候車時(shí)間之差不超過(guò)1分鐘，向內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運(yùn)行？

Answer 1

分析：（1）設(shè)內(nèi)環(huán)線列車的平均速度為v千米/小時(shí)，根據(jù)內(nèi)環(huán)線乘客最長(zhǎng)候車時(shí)間為10分鐘，可得

30

9v

×60≤10，從而可求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度；
（2）設(shè)內(nèi)環(huán)線投入x列列車運(yùn)行，則外環(huán)線投入（18-x）列列車運(yùn)行，分別求出內(nèi)、外環(huán)線乘客最長(zhǎng)候車時(shí)間t1=

30

25x

×60=

72

x

，t2=

30

30(18-x)

×60=

60

18-x

，根據(jù)|t1-t2|=|

72

x

-

60

18-x

|≤1，解不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)內(nèi)環(huán)線列車的平均速度為v千米/小時(shí)，則要使內(nèi)環(huán)線乘客最長(zhǎng)候車時(shí)間為10分鐘，可得

30

9v

×60≤10
∴v≥20
∴要使內(nèi)環(huán)線乘客最長(zhǎng)候車時(shí)間為10分鐘，內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度是20千米/小時(shí)；
（2）設(shè)內(nèi)環(huán)線投入x列列車運(yùn)行，則外環(huán)線投入（18-x）列列車運(yùn)行，內(nèi)、外環(huán)線乘客最長(zhǎng)候車時(shí)間分別為t₁，t₂分鐘，
則t1=

30

25x

×60=

72

x

，t2=

30

30(18-x)

×60=

60

18-x

∴|t1-t2|=|

72

x

-

60

18-x

|≤1
∴

x2-150x+1296≤0 x2+114x-1296≤0

∴

150- 17316

2

≤x≤

-114+ 18180

2

∵x∈N₊，∴x=10
∴當(dāng)內(nèi)環(huán)線投入10列列車運(yùn)行，外環(huán)線投入8列列車時(shí)，內(nèi)外環(huán)線乘客的最長(zhǎng)候車時(shí)間之差不超過(guò)1分鐘．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確求出乘客最長(zhǎng)候車時(shí)間．