Question

設(shè)A、B是雙曲線x²＝1上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，2）是線段AB的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求直線AB的方程；

（Ⅱ）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓，為什么?

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=k（x－1）+2， 代入x2－=1，整理得（2－k2）x2－2k（2－k）x－（2－k）2－2=0　　  ① 記A（x1，y1），B（x2，y2），則x1、x2是方程①的兩個(gè)不同的根，所以2－k2≠0， 且x1+x2= 由N（1，2）是AB的中點(diǎn)得（x1+x2）=1 ∴k（2－k）=2－k2 解得k=1，所以直線AB的方程為y=x+1. （Ⅱ）將k=1代入方程①得x2－2x－3=0 解出x1=－1，x2=3 由y=x+1得y1=0，y2=4 即A、B的坐標(biāo)分別為（－1，0）和（3，4） 由CD垂直平分AB，得直線CD的方程為y=－（x－1）+2 即y=3－x 代入雙曲線方程，整理得x2+16x－11=0    ② 記C（x3，y3），D（x4，y4），CD的中點(diǎn)為M（x0，y0），則x3、x4是方程②的兩個(gè)根，所以x3+x4=－6，x3x4=－11. 從而x0=（x3+x4）=－3，y0=3－x0=6. |CD|= . ∴|MC|=|MD|=. 又|MA|=|MB|=. 即A、B、C、D四點(diǎn)到點(diǎn)M的距離相等，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓.