Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+3bx+c（b≠0），且g（x）=f（x）-2是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用奇函數(shù)的定義g（-x）=-g（x）求出a，c的值；
（2）求導(dǎo)數(shù)令其為0，判斷根左右兩邊的符號，求出函數(shù)的單調(diào)性．注意對參數(shù)的討論．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=f（x）-2為奇函數(shù)，
所以，對任意的x∈R，都有g(shù)（-x）=-g（x），即f（-x）-2=-f（x）+2．
又f（x）=x³+ax²+3bx+c
所以-x³+ax²-3bx+c-2=-x³-ax²-3bx-c+2．
所以
解得a=0，c=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³+3bx+2．
所以f'（x）=3x²+3b（b≠0）．
當(dāng)b＜0時(shí)，由f'（x）=0得．x變化時(shí)，f'（x）的變化情況如下：
，時(shí)f′（x）＞0
，時(shí)f′（x）＜0
，時(shí)f′（x）＞0
所以，當(dāng)b＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
當(dāng)b＞0時(shí)，f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法．注意：含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)性時(shí)一般需要討論．