已知向量
m
=(sinx，-1)，向量
n
=(
3
cosx，
1
2
)，函數(shù)f(x)=(
m
+
n
)•
m
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）若方程f（x）-t=0在x∈[
π
4
，
π
2
]上有解，求實數(shù)t的取值范圍．
分析：（I）由平面向量數(shù)量積的運算公式，結(jié)合二倍角的余弦公式和輔助角公式化簡得f（x）sin（2x-
π
6
）+1，再結(jié)合正弦函數(shù)周期公式，即可得到f（x）的最小正周期；
（II）根據(jù)x∈[
π
4
，
π
2
]，可得2x-
π
6
∈[
π
3
，
5π
6
]．再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得f（x）=sin（2x-
π
6
）+1的值域為[
3
2
，2]．由此結(jié)合方程f（x）-t=0有[
π
4
，
π
2
]上的解，即可求出實數(shù)t的取值范圍．
解答：解：（I）∵
m
=(sinx，-1)，
n
=(
3
cosx，
1
2
)，
∴
m
+
n
=（sinx+
3
cosx，-
1
2
），可得
f(x)=(
m
+
n
)•
m
=sinx（sinx+
3
cosx）+
1
2
=sin2x+
3
sinxcosx+
1
2

∵sin2x=
1
2
（1-cos2x），sinxcosx=
1
2
sin2x
∴f（x）=
1
2
（1-cos2x）+
3
2
sin2x+
1
2
=sin（2x-
π
6
）+1
因此，f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π；
（II）∵x∈[
π
4
，
π
2
]，可得2x-
π
6
∈[
π
3
，
5π
6
]
∴sin（2x-
π
6
）∈[
1
2
，1]，得f（x）=sin（2x-
π
6
）+1的值域為[
3
2
，2]
∵方程f（x）-t=0在x∈[
π
4
，
π
2
]上有解，
∴f（x）=t在x∈[
π
4
，
π
2
]上有解，可得實數(shù)t的取值范圍為[
3
2
，2]．
點評：本題給出向量含有三角函數(shù)的式的坐標形式，求函數(shù)f(x)=(
m
+
n
)的表達式并依此討論方程f（x）-t=0在x∈[
π
4
，
π
2
]上有解的問題，著重考查了平面向量數(shù)量積運算公式及其運算性質(zhì)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，則sin2θ的值為
 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，設函數(shù)f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，然后將圖象向下平移
1
2
個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間上[0，
3π
4
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，當θ∈[0，π]時，函數(shù)f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面積．

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