Question

2．在△ABC中，已知當A=$\frac{π}{6}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=tanA時，△ABC的面積為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 由已知求出$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$，然后代入三角形面積公式得答案．

解答 解：由A=$\frac{π}{6}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=tanA，得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=tanA=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos\frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，則$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{3}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|•sinA$=$\frac{1}{2}×$$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查正弦定理求面積，是中檔題．