Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sinxcosx-2cos2x+1．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若△ABC中，f(A-

π

12

)=

3

，且b+c=4，求∠A的大小及邊長(zhǎng)a的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、兩角差的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為f(x)=2sin(2x-

π

6

)，利用周期公式，求出函數(shù)的周期，正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）通過(guò)f(A-

π

12

)=

3

求出A的值，利用余弦定理求出a的最小值．

解答：解：（1）f（x）=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)
∴f（x）最小周期為T=

2π

2

=π；
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈z
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

6

+kπ ，

π

3

 +kπ]，k∈z
（2）f(A-

π

12

)=

3

，所以2sin[2(A- 

π

12

)-

π

6

]=

3

，即：sin(2A-

π

3

)=

3

2

，因?yàn)锳是三角形的內(nèi)角，所以A=

π

3

，A=

π

2

；b+c=4，所以a²=b²+c²-2bccosA；當(dāng)A=

π

3

時(shí)，a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=16-3bc≥16-3(

b+c

2

)2=4，a的最小值是2；同理當(dāng)A=

π

2

時(shí)，a的最小值為2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，周期的求法、單調(diào)增區(qū)間的確定，余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．基本不等式的應(yīng)用．