Question

11．已知圓C：x²+（y-4）²=4，直線l：（3m+1）x+（1-m）y-4=0
（Ⅰ）求直線l被圓C所截得的弦長最短時m的值及最短弦長
（Ⅱ）已知坐標軸上點A（0，2）和點T（t，0）滿足：存在圓C上的兩點P和Q，使得$\overrightarrow{TA}$$+\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線l的方程求出l恒過定點M，判斷點M在圓C內，
利用圓心到直線的距離和勾股定理求出最短弦長；
（Ⅱ）【解法一】設出點P、Q的坐標，
利用平面向量的坐標運算以及兩圓相交的條件求出t的取值范圍．
【解法二】根據(jù)平面向量的線性運算與模長公式，
求出t的取值范圍，再驗證此時的t滿足題意即可．

解答 解：（Ⅰ）由直線l：（3m+1）x+（1-m）y-4=0，得m（3x-y）=-x-y+4，
由m的取值是任意的實數(shù)，得$\left\{\begin{array}{l}{3x-y=0}\\{-x-y+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，∴直線l恒過定點M（1，3）；
又|CM|=$\sqrt{2}$＜2=r，
∴點M在圓C內，且當CM⊥l時，所截得的弦長最短，
由題意知圓心C（0，4），半徑r=2，∴k_CM=$\frac{4-3}{0-1}$=-1
∴k_l=$\frac{-1}{{k}_{CM}}$=$\frac{-1}{-1}$=1，
由$\frac{3m+1}{m-1}$=1，解得m=-1；
∴圓心C到直線l的距離為d=|CM|=$\sqrt{2}$，
∴最短弦長為l₀=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{{2}^{2}{-（\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）【解法一】設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{TA}$+$\overrightarrow{TB}$=$\overrightarrow{TQ}$得（-t，2）+（x₁-t，y₁）=（x₂-t，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{=x}_{2}+t}\\{{y}_{1}{=y}_{2}-2}\end{array}\right.$，由點P（x₁，y₁）在圓C上，得${{（x}_{2}+t）}^{2}$+${{（y}_{2}-6）}^{2}$=4；
由點Q（x₂，y₂）在圓C上，得${{x}_{2}}^{2}$+${{（y}_{2}-4）}^{2}$=4；
∴圓${{（x}_{2}+t）}^{2}$+${{（y}_{2}-6）}^{2}$=4與${{x}_{2}}^{2}$+${{（y}_{2}-4）}^{2}$=4有交點，
則2-2≤$\sqrt{{（-t）}^{2}{+2}^{2}}$≤2+2，解得-2$\sqrt{3}$≤t≤2$\sqrt{3}$，
∴t的取值范圍是[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．
【解法二】由$\overrightarrow{TA}$$+\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$，得$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{TQ}$-$\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{PQ}$，則|$\overrightarrow{TA}$|=|$\overrightarrow{PQ}$|，
又|$\overrightarrow{PQ}$|≤4，∴|$\overrightarrow{TA}$|=$\sqrt{{t}^{2}{+2}^{2}}$≤4，
解得-2$\sqrt{3}$≤t≤2$\sqrt{3}$，
對于任意t∈[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]，欲使$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{PQ}$，此時|$\overrightarrow{TA}$|≤4；
只需作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為$\sqrt{4-\frac{{|TA|}^{2}}{4}}$，
必然與圓交于P、Q兩點，此時|$\overrightarrow{TA}$|=|$\overrightarrow{PQ}$|，即$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{PQ}$；
因此對于任意t∈[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]均滿足題意；
綜上，t的取值范圍是[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了直線與圓的方程應用問題，也考查了平面向量的應用問題，是綜合題．