已知三棱錐P—ABC是正三棱錐，求證：

（1）它的各個側(cè)面與底面所成的角相等；

（2）正三棱錐底面積與側(cè)面積S之比是各個側(cè)面與底面所成角的余弦值.

 

答案：
解析：

解：三棱錐P—ABC是正三棱錐，因此頂點P在底面上的射影O是△ABC的中心，連結(jié)AO、BO、CO，并延長分別交對邊于D、E、F.

（1）∵△ABC是正三角形，∴AD⊥BC，OD=OE=OF.

又∵PO⊥BC，∴BC⊥面PAD.∴BC⊥PD.

∴∠PDA就是側(cè)面PBC與底面ABC所成二面角的平面角.

同理，∠PEB、∠PFC分別是另兩個側(cè)面與底面所成二面角的平面角.

可證得Rt△PFO≌Rt△PDO≌Rt△PEO.

∴∠PEB=∠PFC=∠PDA，即結(jié)論（1）成立.

（2）由∠PEB=∠PFC=∠PDA，

∴cosPEB=cosPFC=cosPDA，

即cosPEB=.

即結(jié)論（2）成立.

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩相互垂直，且PA=2
3
，PB=3，PC=2外接球的直徑等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求證：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知三棱錐P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D為AB中點，M為PB的中點，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（I）求證：DM∥平面PAC；
（II）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅲ）求三棱錐M-BCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•河西區(qū)二模）如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，其中正視圖為Rt△PAC，AC=2
6
，PA=4，俯視圖也為直角三角形，另一直角邊長為2
2
．
（Ⅰ）畫出側(cè)視圖并求側(cè)視圖的面積；
（Ⅱ）證明面PAC⊥面PAB；
（Ⅲ）求直線PC與底面ABC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•黃浦區(qū)二模）已知三棱錐P-ABC的棱長都是2，點D是棱AP上不同于P的點．
（1）試用反證法證明直線BD與直線CP是異面直線．
（2）求三棱錐P-ABC的體積VP-ABC．

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