Question

不等式ax²+（a-3）x+（a-4）＞0對a∈[1，∞）恒成立，則x的取值范圍是

（-∞，-1）或（3，+∞）

．

Answer 1

分析：把給出的不等式看作是關于a的一元一次不等式，要使不等式ax²+（a-3）x+（a-4）＞0對a∈[1，∞）恒成立，即
（x²+x+1）a-3x-4＞0恒成立，a的系數恒大與0，說明一次不等式對應的一次函數的斜率為正，只需把a代1時函數值大于0即可，由此可求得x的取值范圍．

解答：解：由ax²+（a-3）x+（a-4）＞0，得：（x²+x+1）a-3x-4＞0，
∵x²+x+1＞0恒成立，
令f（a）=（x²+x+1）a-3x-4，
要使（x²+x+1）a-3x-4＞0對a∈[1，∞）恒成立，
則f（1）＞0，即x²+x+1-3x-4＞0恒成立，
解得：x＜-1或x＞3．
所以，使不等式ax²+（a-3）x+（a-4）＞0對a∈[1，∞）恒成立的x的取值范圍是（-∞，-1）或（3，+∞）．
故答案為（-∞，-1）或（3，+∞）．

點評：本題考查一元二次不等式的應用，考查了數學轉化思想，解答此題的關鍵是更換主元，把二次不等式看做關于a的一次不等式處理，此題是中檔題．