如圖，A、B分別是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下兩頂點，P是雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1上在第一象限內(nèi)的一點，直線PA、PB分別交橢圓于C、D點，如果D恰是PB 的中點．
（1）求證：無論常數(shù)a、b如何，直線CD的斜率恒為定值；
（2）求雙曲線的離心率，使CD通過橢圓的上焦點．
分析：（1）設(shè)P點坐標(biāo)為（x0，y0），根據(jù)題意寫出A、B坐標(biāo)分別是（0，a）、（0，-a），而D是PB的中點，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，寫出點D的坐標(biāo)，并代入橢圓方程，解方程組即可求得點D的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓方程，求得點C的坐標(biāo)，即可求得直線CD的斜率；
（2）當(dāng)CD過橢圓焦點(0，
a2-b2
)時，則
a2-b2
=
a
2
，∴b=
3
4
a2，根據(jù)c2=a2+b2，即可求得雙曲線的離心率．
解答：解：（1）設(shè)P點坐標(biāo)為（x0，y0），又A、B坐標(biāo)分別是（0，a）、（0，-a）
而D是PB的中點，∴D點坐標(biāo)為（
x0
2
，
y0-a
2
），
把D點坐標(biāo)代入橢圓方程，得：
(y0-a)2
a2
+
x
2
0
b2
=4    ①
又
y
2
0
a2
-
x
2
0
b2
=1      ②
由①②解得，y0=2a（y0=-a舍去）x0=
3
b，∴P點坐標(biāo)為(
3
b，2a)
故kPA=
y0-a
x0
=
a
3
b
，直線PA的方程是y=
a
3
b
x+a與
y2
a2
+
x2
b2
=1聯(lián)立，解得
C點坐標(biāo)為(-
3
b
2
，
a
2
)，又D點坐標(biāo)為(
3
2
b，
a
2
)
∴C、D兩點關(guān)于y軸對稱，故無論a、b如何變化，都有CD∥x軸，直線CD的斜率恒為常常0．
（2）當(dāng)CD過橢圓焦點(0，
a2-b2
)時，
則
a2-b2
=
a
2
，∴b=
3
4
a2，
雙曲線中，c=
a2+b2
=
7
2
a，
∴雙曲線的離心率e=
c
a
=
7
2
．
點評：此題是個中檔題．考查橢圓和雙曲線的簡單的幾何性質(zhì)，以及雙曲線的離心率的求解，以及直線和橢圓相交中的有關(guān)中點弦的問題，綜合性強．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•九江二模）如圖，A、B分別是橢圓
x2
4
+y2=1和雙曲線
x2
4
-y2=1的公共左右頂點，P、Q分別位于橢圓和雙曲線上且不同于A、B的兩點，設(shè)直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k1、k2、k3、k4且k1+k2+k3+k4=0．（1）求證：O、P、Q三點共線；（O為坐標(biāo)原點）
（2）設(shè)F1、F2分別是橢圓和雙曲線的右焦點，已知PF1∥QF2，求k12+k22+k32+k42的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖,點A、B分別是橢圓=1長軸的左、右端點,點F是橢圓的右焦點,點P在橢圓上,且位于x軸上方,PA⊥PF.

(1)求點P的坐標(biāo);

(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點,M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年江西省九江市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，A、B分別是橢圓的公共左右頂點，P、Q分別位于橢圓和雙曲線上且不同于A、B的兩點，設(shè)直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k1、k2、k3、k4且k1+k2+k3+k4=0．（1）求證：O、P、Q三點共線；（O為坐標(biāo)原點）
（2）設(shè)F1、F2分別是橢圓和雙曲線的右焦點，已知PF1∥QF2，求k12+k22+k32+k42的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年江西省九江市高三第二次高考模擬考試數(shù)學(xué)（理） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

        如圖，A、B分別是橢圓的公共左右頂點，P、Q分別位于橢圓和雙曲線上且不同于A、B的兩點，設(shè)直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k1、k2、k3、k4且k1+k2­+k3+k4=0。

   （1）求證：O、P、Q三點共線；（O為坐標(biāo)原點）

   （2）設(shè)F1、F2分別是橢圓和雙曲線的右焦點，已知PF1//QF2，求的值。

 

 

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