Question

已知拋物線y=ax²（a＜0）焦點(diǎn)為F，過F作直線L交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則

1

|AF|

+

1

|BF|

=

 

．

Answer 1

分析：先求出焦點(diǎn)F（0，

1

4a

），準(zhǔn)線為 y=-

1

4a

，設(shè)直線L的方程為 y=kx+

1

4a

，代入拋物線y=ax² 解得 A、B的
坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義可得AF 和BF 的解析式，代入

1

|AF|

+

1

|BF|

進(jìn)行化簡運(yùn)算結(jié)果．

解答：解：拋物線y=ax²（a＜0）即 x2=

1

a

y=-

1

|a|

y=-

1

-a

y，故焦點(diǎn)F（0，

1

4a

），準(zhǔn)線為 y=-

1

4a

．
由題意可得，直線L的斜率存在，設(shè)直線L的方程為 y=kx+

1

4a

，代入拋物線y=ax² 解得
x₁=

k+ k2+1

2a

，x₂=

k- k2+1

2a

，∴y₁=

k2+k k2+1

2a

+

1

4a

，y₂=

k2-k k2+1

2a

+

1

4a

不妨設(shè)A（x₁，y₁ ），B （x₂，y₂ ），由拋物線的定義可得AF=-

1

4a

-y₁=-

k2+1+ k k2+1

2a

，
BF=-

1

4a

-y₂=

k2+1- k k2+1

2a

．
∴

1

|AF|

+

1

|BF|

=

-2a

k2+1+ k k2+1

+

-2a

k2+1- k k2+1

=

-4a(k2+1)

(k2+1)

=-4a，
故答案為-4a．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)題意，求出AF=-

k2+1+ k k2+1

2a

，BF=

k2+1- k k2+1

2a

，是解題的關(guān)鍵．