設(shè)函數(shù)f(x)=-x3+3x+2分別在x1、x2處取得極小值、極大值.xOy平面上點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,f(x1))、(x2,f(x2)),該平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足
PA
PB
=4
,點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線y=2(x-4)的對(duì)稱點(diǎn).求
(Ⅰ)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(Ⅱ)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.
分析:(I)令f′(x)=0求出x的解,然后根據(jù)駐點(diǎn)分區(qū)間討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值,得到A、B的坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)p(m,n),Q(x,y),由
PA
PB
=4
,得
y-n
x-m
=-
1
2
,又因?yàn)镻Q的中點(diǎn)在y=2(x-4)上,得
y+m
2
=2(
x+n
2
-4)
消去m、n即可得到動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.
解答:解:(Ⅰ)令f'(x)=(-x3+3x+2)'=-3x2+3=0,
解得:x=1或x=-1
當(dāng)x<-1時(shí),f'(x)<0,
當(dāng)-1<x<1時(shí),f'(x)>0,
當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0
所以,函數(shù)在x=-1處取得極小值,在x=1取得極大值,
故x1=-1,x2=1,f(-1)=0,f(1)=4
所以,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(-1,0),B(1,4).
(Ⅱ)設(shè)p(m,n),Q(x,y),
PA
PB
=(-1-m,-n)•(1-m,4-n)=m2-1+n2-4n=4

kPQ=-
1
2
,即
y-n
x-m
=-
1
2
,
又PQ的中點(diǎn)在y=2(x-4)上,
所以
y+m
2
=2(
x+n
2
-4)

消去m,n得(x-8)2+(y+2)2=9
點(diǎn)評(píng):考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力,會(huì)用平面內(nèi)兩個(gè)向量數(shù)量積的運(yùn)算,以及會(huì)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,若存在非零實(shí)數(shù)t,使得對(duì)于任意x∈C(C⊆A),有x+t∈A,且f(x+t)≤f(x),則稱f(x)為C上的t低調(diào)函數(shù).如果定義域?yàn)閇0,+∞)的函數(shù)f(x)=-|x-m2|+m2,且 f(x)為[0,+∞)上的10低調(diào)函數(shù),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。
A、[-5,5]
B、[-
5
5
]
C、[-
10
10
]
D、[-
5
2
5
2
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x)恒成立;當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x3-4x+3.有下列命題:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)
;
②當(dāng)x∈[-1,0]時(shí)f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無窮等差數(shù)列;
④關(guān)于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7個(gè)不同的根.
其中真命題的個(gè)數(shù)為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:徐州模擬 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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