Question

已知F（x）=f（x+）-1是R上的奇函數，a_n=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N^*），則數列{a_n} 的通項公式為（ ）
A．a_n=n-1
B．a_n=n
C．a_n=n+1
D．a_n=n²

Answer 1

【答案】分析：由F（x）=f（x+）-1在R上為奇函數，知f（-x）+f（+x）=2，令t=-x，則+x=1-t，得到f（t）+f（1-t）=2．由此能夠求出數列{a_n} 的通項公式．
解答：解：F（x）=f（x+）-1在R上為奇函數
故F（-x）=-F（x），
代入得：f（-x）+f（+x）=2，（x∈R）
當x=0時，f（）=1．
令t=-x，則+x=1-t，
上式即為：f（t）+f（1-t）=2．
當n為偶數時：
a_n=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N^*）
=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]+f（）
=
=n+1．
當n為奇數時：
a_n=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N^*）
=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]
=2×
=n+1．
綜上所述，a_n=n+1．
故選C．
點評：本題首先考查函數的基本性質，借助函數性質處理數列問題問題，十分巧妙，對數學思維的要求比較高，要求學生理解f（t）+f（1-t）=2．本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，仔細解答．