Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（a²+b）x+alnx（a，b∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)b=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1，b=0時，證明：f（x）+e^x＞-$\frac{1}{2}{x^2}$-x+1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）法一：問題轉(zhuǎn)化為證明e^x-lnx-1＞0，設(shè)g（x）=e^x-lnx-1（x＞0），問題轉(zhuǎn)化為證明?x＞0，g（x）＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；
法二：問題轉(zhuǎn)化為證明x-1≥lnx（x＞0），令h（x）=x-1-lnx（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)b=1時，$f（x）=\frac{1}{2}a{x^2}-（1+{a^2}）x+alnx$$f'（x）=ax-（1+{a^2}）+\frac{a}{x}=\frac{（ax-1）（x-a）}{x}$…（1分）
討論：1°當(dāng)a≤0時，$x-a＞0，\frac{1}{x}＞0，ax-1＜0⇒f'（x）＜0$
此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)遞增區(qū)間    …（2分）
2°當(dāng)a＞0時，令$f'（x）=0⇒x=\frac{1}{a}$或a
①當(dāng)$\frac{1}{a}=a（a＞0）$，¼?a=1?±£?此時$f'（x）=\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}≥0（x＞0）$
此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間  …（3分）
②當(dāng)$0＜\frac{1}{a}＜a$，即a＞1時，此時在$（0，\frac{1}{a}）$和（a，+∞）上函數(shù)f'（x）＞0，
在$（\frac{1}{a}，a）$上函數(shù)f'（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為$（0，\frac{1}{a}）$和（a，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間為$（\frac{1}{a}，a）$…（4分）
③當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{a}$，即0＜a＜1時，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，a）和$（\frac{1}{a}，+∞）$；
單調(diào)遞減區(qū)間為$（a，\frac{1}{a}）$…（6分）
（Ⅱ）證明：（法一）當(dāng)a=1時     f（x）+e^x＞x²+x+1
只需證明：e^x-lnx-1＞0設(shè)g（x）=e^x-lnx-1（x＞0）
問題轉(zhuǎn)化為證明?x＞0，g（x）＞0
令$g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，$g''（x）={e^x}+\frac{1}{x^2}＞0$，
∴$g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$為（0，+∞）上的增函數(shù)，且$g'（\frac{1}{2}）=\sqrt{e}-2＜0，g'（1）=e-1＞0$…（8分）
∴存在惟一的${x_0}∈（\frac{1}{2}，1）$，使得g'（x_o）=0，${e^{x_0}}=\frac{1}{x_0}$，
∴g（x）在（0，x₀）上遞減，在（x₀，+∞）上遞增…（10分）
∴$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）={e^{x_o}}-ln{x_{_0}}-1=\frac{1}{x_0}+{x_0}-1≥2-1=1$，
∴g（x）_min＞0∴不等式得證       …（12分）
（法二）先證：x-1≥lnx（x＞0）
令h（x）=x-1-lnx（x＞0）∴$h'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}=0⇒x=1$，
∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（1）=0，∴h（x）≥h（1）⇒x-1≥lnx…（8分）
∴1+lnx≤1+x-1=x⇒ln（1+x）≤x，
∴e^ln（1+x）≤e^x…（10分），
∴e^x≥x+1＞x≥1+lnx，
∴e^x＞1+lnx
故e^x-lnx-1＞0，證畢                            …（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查不等式的證明，是一道綜合題．