設a＞0，f(x)=
ex
a
+
a
ex
是R上的偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）依題意，對一切x∈R，有f（-x）=f（x），即
1
aex
+aex=
ex
a
+
a
ex

∴(a-
1
a
)(ex-
1
ex
)=0對一切x∈R成立，則a-
1
a
=0，∴a=±1，∵a＞0，∴a=1．
（2）設0＜x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=ex1-ex2+
1
ex1
-
1
ex2

=(ex2-ex1)(
1
ex1+x2
-1)=ex1(ex2-x1-1)
1-ex2+x1
ex2+x1
，
由x1＞0，x2＞0，x2-x1＞0，
得x1+x2＞0，ex2-x1-1＞0，
得1-ex2+x1＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a＞0，f(x)=
ex
a
+
a
ex
是R上的偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a＞0，f(x)=
2x
a
+
a
2x
是R上的偶函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a＞0，f(x)=
axa+x
令a1=1，an+1=f(an)，n∈N*．
（1）寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項公式；
（2）用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a＞0，f(x)=
2x
a
-
a
2x
是R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）證明：f（x）在R上為增函數(shù)；
（Ⅲ）解不等式：f（1-m）+f（1-m2）＜0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a＞0,函數(shù)f(x)=,b為常數(shù).

（1）證明：函數(shù)f(x)的極大值點和極小值點各有一個；

（2）若函數(shù)f(x）的極大值為1，極小值為-1，試求a的值.

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