Question

函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）=f（x±2k），（k∈Z）成立，已知當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）
（1）求x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（3）若函數(shù)f（x）的最大值為

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)是偶函數(shù)，f（x）=f（x±2k），可得函數(shù)的周期是2k，然后利用周期性和奇偶性求f（x）的表達(dá)式．
（2）利用函數(shù)的周期是2k，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（3）利用函數(shù)的最大值，討論a的取值，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解a．

解答：解：（1）由f（x）=f（x±2k）可得函數(shù)的周期為2k．當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)的周期為2．
所以當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，x+2∈[1，2]，所以f（x）=f（x+2）=log_a（x+2）．
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，-x∈[-1，0]，
所以此時(shí)f（x）=f（-x）=log_a（-x+2）．
即f(x)=

loga(x+2)，-1≤x≤0 loga(2-x)，0＜x≤1

．
（2）當(dāng)x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時(shí)，x-2k∈[-1，1]（k∈Z），所以f（x）=f（x-2k）=

loga(x-2k+2)，-1≤x-2k≤0 loga(2-x+2k)，0＜x-2k≤1

，
即f(x)=

loga(x-2k+2)，2k-1≤x≤2k loga(2-x+2k)，2k＜x≤1+2k

．
（3）因?yàn)楹瘮?shù)的周期函數(shù)且函數(shù)為偶函數(shù)，所以只研究當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)的函數(shù)性質(zhì)即可．
當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=log_a（x+2）．
若a＞1，則函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)的最大值為f（0）=log_a2=

1

2

，解得a=4成立．
若0＜a＜1，則函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)的最大值為f（-1）=log_a1=0，與最大值是

1

2

矛盾．
綜上a=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)周期性和奇偶性的應(yīng)用，利用函數(shù)的周期性和奇偶性求函數(shù)的解析式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．