Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x²+x）．
（1）若a=

1

2

，求F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x²+x），把a(bǔ)=

1

2

，得F(x)=lnx+2x-

1

2

x2-

1

2

x，然后求出其導(dǎo)數(shù)F′（x），最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解；
（2）由題意f（x）≤g（x）恒成立，構(gòu)造新函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），然后求出F′(x)=-

(2x+1)(ax-1)

2x

，只要證F（x）的最大值小于0，就可以了．

解答：解：（Ⅰ）F(x)=lnx+2x-

1

2

x2-

1

2

x，
其定義域是（0，+∞）
F′(x)=

1

x

+2-x-

1

2

=-

(2x+1)(x-2)

2x

令F′（x）=0，得x=2，x=-

1

2

（舍去）．（3分）
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞2時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
即函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間為（0，2），（2，+∞）．（6分）
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），
則F′(x)=-

(2x+1)(ax-1)

x

，（8分）
當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，
F（x）≤0不可能恒成立，（10分）
當(dāng)a＞0時(shí)，令F′（x）=0，得x=

1

a

，x=-

1

2

（舍去）．
當(dāng)0＜x＜

1

a

時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞

1

a

時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；（13分）
故F（x）在（0，+∞）上的最大值是F(

1

a

)，
依題意F(

1

a

)≤0恒成立，
即ln

1

a

+

1

a

-1≤0，
又g(a)=ln

1

a

+

1

a

-1單調(diào)遞減，且g（1）=0，
故ln

1

a

+

1

a

-1≤0成立的充要條件是a≥1，
所以a的取值范圍是[1，+∞）．
 lnx+2x≤a（x²+x）恒成立，由于x＞0，即：a≥

lnx+2x

x2+x

，即只要確定

lnx+2x

x2+x

的最大值即可．
設(shè)h（x）=

lnx+2x

x2+x

h'（x）=

x2+x 2 + 1 x -(2x+1)(lnx+2x)

(x2+x)2

=

(2x+1)(1-x-lnx)

(x2+x)2

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＞0即h（x）遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＜0即h（x）遞減，則h（x）的最大值是h（1）=1，從而a≥1

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程與不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，一般出題者喜歡考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，要出學(xué)生會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想、有限與無(wú)限的思想來(lái)解決問題．