Question

6．已知圓M過點C（1，-1），D（-1，1），且圓心M在x+y-2=0上．
（1）求圓M的方程；
（2）設(shè)P（x，y）是圓M上任意一點求x+y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用圓M過兩點C（1，-1）、D（-1，1）且圓心M在直線x+y-2=0上，建立方程組，即可求圓M的方程；
（2）設(shè)x=1+2cosα，y=1+2sinα，則x+y=1+2cosα+1+2sinα=2+2$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），即可求x+y的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)圓M的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）^{2}+（-1-b）^{2}={r}^{2}}\\{（-1-a）^{2}+（1-b）^{2}={r}^{2}}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$，解得：a=b=1，r=2，
故所求圓M的方程為：（x-1）²+（y-1）²=4；
（2）設(shè)x=1+2cosα，y=1+2sinα，則x+y=1+2cosα+1+2sinα=2+2$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）$∈[2-2\sqrt{2}，2+2\sqrt{2}]$．

點評 本題給出圓M滿足的條件，求圓M的方程并求x+y的取值范圍．著重考查了直線的基本量與基本形式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．