Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，對?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，當x∈（0，1]且x₁≠x₂時，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0．給出下列命題：
（1）f（1）=0
（2）f（x）在[-2，2]上有5個零點    
（3）f（2014）=0             
（4）直線x=1是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸
則正確命題個數是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：根據f（x-1）=f（x+1）和奇函數的結論：f（0）=0，求出f（1）=0和函數的周期，進而判斷出（1）、（2）、（3）正確；利用奇函數的性質構造等式判斷出（4）正確性．

解答：解：由題意，令x=1代入f（x-1）=f（x+1）得，f（0）=f（1），
∵函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（1）=f（0）=0，故（1）正確；
又∵對?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，
∴f（x）=f（x+2），
則函數f（x）是以2為周期的周期函數，
∴f（-2）=f（0）=f（2）=0，且f（2014）=f（2×1007+0）=0，
∵函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（-1）=-f（1）=0，
∵當x∈（0，1]且x₁≠x₂時，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，
∴f（x）在（0，1]上遞減，
由奇函數得，f（x）在[-2，2]上有5個零點，即（2）、（3）正確；
由f（x）=f（x+2）和奇函數得，-f（-x）=f（x+2），
求不出直線x=1是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸
故（4）不正確，
故選C．

點評：本題考查了抽象函數的奇偶性和周期性的綜合應用，以及函數零點的定義，屬于中檔題．