Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+）（x+a）（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的范圍；
（2）若f′（-1）=0，（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（II）證明對(duì)任意的x₁、x₂∈（-1，0），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜恒成立．

Answer 1

解：∵，∴
（1）∵函數(shù)f（x）的圖象有與x軸平行的切線，
∴f′（x）=0有實(shí)數(shù)解，，
所以a的取值范圍是
（2）∵f′（-1）=0，∴，，
∴
（Ⅰ）由f'（x）＞0得x＜-1或；
由
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是；
單調(diào)減區(qū)間為
（Ⅱ）易知f（x）的最大值為，
f（x）的極小值為，又
∴f（x）在[-1，0]上的最大值，
最小值∴對(duì)任意x₁，x₂∈（-1，0），
恒有
分析：（1）先求函數(shù)f（x）=（x²+）（x+a）（a∈R）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，即導(dǎo)函數(shù)為零時(shí)有實(shí)數(shù)解，再令方程的判別式大于或等于零即可得a的范圍
（2）先由f′（-1）=0求出a值；（I）令導(dǎo)函數(shù)大于零，解不等式可得函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于零，解不等式可得函數(shù)的減區(qū)間；（II）求函數(shù)f（x）在[-1，0]上的最大值和最小值，當(dāng)這兩個(gè)值差的絕對(duì)值小于，即證明了
x₁、x₂∈（-1，0）時(shí)，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜恒成立
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，特別是在研究函數(shù)單調(diào)性和最值上的應(yīng)用，解題時(shí)要透徹理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，規(guī)范在求單調(diào)區(qū)間及最值時(shí)的解題步驟