Question

【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.已知，其中為原點(diǎn)， 為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程及離心率的值；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若，且，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為. ;（2）

【解析】試題分析：（1）由橢圓方程可知，由已知得，∴，平方得，所以，又因?yàn)?/span>，∴，解得，所以，因此.所以，橢圓的方程為. . （2）因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，由點(diǎn)斜式得直線的方程為，設(shè)，把直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立消去，得，因?yàn)?/span>2與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是此方程的兩個(gè)根，用根于系數(shù)的關(guān)系得，代入直線的方程從而得. 由，得，設(shè)，求兩向量的坐標(biāo)。由（1）知， ，得向量坐標(biāo)， . 所以，解得.因?yàn)橹本�與直線垂直，所以直線的斜率為，由直線的斜截式得直線的方程為.聯(lián)立直線的方程與直線的方程，設(shè)，可解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，在中，由大邊對(duì)大角得，由兩點(diǎn)間的距離公式得，化簡(jiǎn)得，即，解不等式可得，或.

試題解析：解：（1）設(shè)，∵ ，∴ ，

又，∴ ， ，∴ ，

所以，因此.

所以，橢圓的方程為. .

（2）解：設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)，

由方程組，消去，得，

解得，或，由題意得，從而.

由（1）知， ，設(shè)，有， .

由，得，所以，解得.因此直線的方程為.

設(shè)，由方程組，消去，解得，在中， ，即，化簡(jiǎn)得，即，解得，或.

所以，直線的斜率的取值范圍為.