Question

有一學(xué)生對(duì)函數(shù)f（x）=xcosx進(jìn)行了研究，得到如下五條結(jié)論：①函數(shù)f（x）在（一π，0）上單調(diào)遞增，在（0，π）上單調(diào)遞減；
②存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立；
③函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(

π

2

，0)；
④函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩公共點(diǎn)間的距離相等；
⑤函數(shù)y=f（x）的圖象與直線．y=x有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩公共點(diǎn)間的距離相等；其中正確結(jié)論的序號(hào)是

②⑤

．（寫出所有你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析：研究函數(shù)f（x）得單調(diào)性可知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性可判斷①；根據(jù)y=cosx是有界函數(shù)可判斷②；根據(jù)函數(shù)基本性質(zhì)：對(duì)稱性的應(yīng)用可判斷③；令f（x）=xcosx=0，可求方程的解，從而可得函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩公共點(diǎn)間的距離不相等，由此能判斷④；令f（x）=xcosx=x，可求方程的解，從而可得函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩公共點(diǎn)間的距離相等，由此能判斷⑤．

解答：解：①因?yàn)閒（x）=xcosx
所以，f（-x）=-xcos（-x）=-xcosx=-f（x）
則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，在對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，故①錯(cuò)誤；
②因?yàn)閨cosx|≤1，令M=2即得|f（x）|≤M|x|成立，故②正確；
③因?yàn)閒（

1

2

π+x）+f（

1

2

π-x）=-（π+2x）sinx+（π-2x）sinx=-4xsinx≠0，
所以點(diǎn)（

1

2

π，0）不是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故③錯(cuò)誤；
④令f（x）=xcosx=0，∴x=0或cosx=0，∴x=0或x=kπ+

π

2

，（k∈Z），
故函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，
且任意相鄰兩公共點(diǎn)間的距離不相等，故④不成立；
⑤令f（x）=xcosx=x，∴cosx=1，∴x=0或x=kπ，（k∈Z），
故函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，
且任意相鄰兩公共點(diǎn)間的距離相等，故⑤成立．
故答案為：②⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系以及函數(shù)的基本性質(zhì)--對(duì)稱性的應(yīng)用．屬中檔題．