Question

已知x，y，z均為正數(shù)．求證：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

Answer 1

分析：分別對(duì)

x

yz

+

y

zx

，

y

xz

+

z

yx

，

z

xy

+

x

yz

進(jìn)行化簡(jiǎn)分析，得出與

2

z

，

2

x

，

2

y

的關(guān)系，然后三個(gè)式子左右分別相加除以2即可得到結(jié)論．

解答：證明：因?yàn)閤，y，z都是為正數(shù)，
所以

x

yz

+

y

zx

=

1

z

(

y

x

+

x

y

)  ≥

2

z

   ①
同理可得

y

xz

+

z

yx

≥

2

x

                    ②

z

xy

+

x

yz

≥

2

y

                    ③

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)，以上三式等號(hào)都成立．
將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，
得：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．