Question

數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足2anSn-

a

2n

=2．
（Ⅰ）求證數(shù)列{

S

2n

}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

2

4 S 4n -1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，并求使Tn＞

1

6

(m2-3m)對(duì)所有的n∈N^*都成立的最大正整數(shù)m的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵2anSn-

a

2n

=1
當(dāng)n≥2時(shí)，2(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1)2=1，
整理得，

S

2n

-

S

2n-1

=1（n≥2），（2分）
又

S

21

=1，（3分）
∴數(shù)列{

S

2n

}為首項(xiàng)和公差都是1的等差數(shù)列．（4分）
∴

S

2n

=n，又S_n＞0，∴Sn=

n

（5分）
∴n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

n

-

n-1

，
又a₁=S₁=1適合此式              （6分）
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

n

-

n-1

（7分）
（Ⅱ）∵bn=

2

4 S 4n -1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

（8分）
∴Tn=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

（10分）
∴Tn≥

2

3

，依題意有

2

3

＞

1

6

(m2-3m)，解得-1＜m＜4，
故所求最大正整數(shù)m的值為3   （12分）