Question

如圖，在長方體中，，且.

  （Ⅰ）求證：對任意，總有；

  （Ⅱ）若，求二面角的余弦值；

  （Ⅲ）是否存在，使得在平面上的射影平分？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）證明略

（Ⅱ）

 （Ⅲ）

【解析】解：（Ⅰ）如圖，以為坐標(biāo)原點，分別以

所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè).

則,,,

,,,

從而,，

所以,即；能                   -----------------4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）及得，，

設(shè)平面的法向量為，則

，解方程組得，

從而可取平面的法向量為，

又取平面的法向量為，且設(shè)二面角P-AB1-B為，

所以；           --------------------------------------------9分

（Ⅲ）假設(shè)存在實數(shù)滿足條件，由題結(jié)合圖形，只需滿足向量分別與向量的所成角相同，即有，

即，解得，所以存在滿足題意的實數(shù)，使得在平面上的射影平分.--------14分