Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F作圓x²+y²=a²的切線FM，交y軸于點(diǎn)P，切圓于點(diǎn)M，若2

OM

=

OF

+

OP

，則雙曲線的離心率是（　　）

• A、

  5

• B、

  3

• C、2
• D、

  2

Answer 1

分析：根據(jù)向量加法法則，得到OM是△POF中PF邊上的中線．由PF與圓x²+y²=a²相切得到OM⊥PF，從而可得△POF是等腰直角三角形，∠MF0=45°．最后在Rt△OMF利用三角函數(shù)的定義算出

a

c

=

2

2

，可得雙曲線的離心率大小．

解答：解：∵2

OM

=

OF

+

OP

，
∴△POF中，OM是PF邊上的中線．
∵PF與圓x²+y²=a²相切，∴OM⊥PF，
由此可得△POF中，PO=FO，∠MF0=45°，
又∵Rt△OMF中，OM=a，OF=c，
∴sin∠MF0=

OM

OF

=

2

2

，即

a

c

=

2

2

．
因此，雙曲線的離心率e=

c

a

=

2

．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題在雙曲線中給出向量關(guān)系式，在直線與圓相切的情況下求雙曲線的離心率．著重考查了解直角三角形、向量的加法法則、直線與圓的位置關(guān)系和雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．