Question

本題14分）已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切.

（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程；

（2）設(shè)直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點(diǎn)，，與雙曲線 交于不同兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）圓， 圓心的坐標(biāo)為，半徑.

∵，

∴點(diǎn)在圓內(nèi).                                                   

設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，

即.                                              

∴圓心的軌跡是中心在原點(diǎn)，以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓,設(shè)其方程為

,  則.

∴.

∴所求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為.                          

 (2)  由 消去化簡(jiǎn)整理得：.

設(shè)，，則.

△.  ①                             

由 消去化簡(jiǎn)整理得：.

設(shè)，則,

△.  ②                          

∵，

∴，即，

∴.

∴或.

解得或.                                                                     

當(dāng)時(shí),由①、②得  ，

∵Z,

∴的值為 ，，;

當(dāng)，由①、②得  ，

∵Z,

∴.

∴滿足條件的直線共有9條．         

【解析】略