已知平面上定點O，A，B，向量
a
=
OA
，
b
=
OB
，且|
a
|=2，|
b
|=1，|
a
+
b
|=
7
，點C是平面上的動點，記
c
=
OC
，若（
a
-2
c
）•（
b
-
c
）=0，給出以下命題：
①|(zhì)
a
-
b
|=
3
；
②點C的軌跡是一個圓；
③|
AC
|的最大值為
7+1
2
，最小值為
7-1
2
；
④|
BC
|的最大值為
3
+1
2
，最小值為
3
-1
2
．
其中正確的有
 
（填上你認為正確的所有命題的序號）
考點：命題的真假判斷與應用,平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應用
分析：根據(jù)向量的數(shù)量積及模的性質(zhì)，求出即
a
•
b
，和夾角θ=60°，再運用模的平方等于向量的平方，即可判斷①，取OA的中點為A1，推出
CA1
⊥
CB
，從而得到C的軌跡為圓，再由點A，B與圓的位置關(guān)系，求出AC，BC的最值，從而判斷②③④．
解答： 解：∵|
a
|=2，|
b
|=1，|
a
+
b
|=
7
，
∴|
a
+
b
|2=|
a
|2+|
b
|2+2
a
•
b
=4+1+2
a
•
b
=7，
即
a
•
b
=1=2×1×cosθ，θ=60°，
①|(zhì)
a
-
b
|=
(
a
-
b
)2
=
4+1-2×1
=
3
，故①正確；
②若（
a
-2
c
）•（
b
-
c
）=0，取OA的中點為A1，
則（
1
2
a
-
c
）•（
b
-
c
）=0，即
CA1
⊥
CB
，
故點C的軌跡為以A1B為直徑的圓，即②正確；
③由②知C在以
1
2
為半徑，A1B的中點為圓心的圓上運動，
則|
AC
|的最大為
1+
1
4
+2×1×
1
2
×
1
2
+
1
2
=
7
+1
2
，
最小為
7
-1
2
，故③正確；
④|
BC
|的最大值為1，最小值為0，故④錯．
故答案為：①②③．
點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義及運用，求模，求夾角，同時考查余弦定理和點與圓的位置關(guān)系，屬于綜合題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，ABCD為邊長2的菱形，∠BAD=60°，對角線交于點O，沿BD將BCD折起，使二面角C-BD-A為120°，P為折起后AC上一點，且AP=2PC，Q為△ABD的中心．
（1）求證：PQ∥平面BCD；
（2）求證：PO⊥平面ABD；
（3）求BP與平面BCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且有a1=1，Sn+1=an+1（n∈N*）．
（Ⅰ） 求數(shù)列{an}的通項an；
（Ⅱ） 若bn=
n
4an
，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn；
（Ⅲ）是否存在最小正整數(shù)m，使得不等式
n
k=1
k+2
Sk•(Tk+k+1)
＜m對任意正整數(shù)n恒成立，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等比數(shù)列{an}中，S5=4，S10=12，則S15=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x，y，z∈R，若6x，7y，8z成等比，
1
x
，
1
y
，
1
z
成等差，則
z
x
+
x
z
=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

曲線y=sin（2x+
π
6
）在x=
π
12
處切線的斜率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C1：（x-1）2+（y-2）2=9，C2：（x+3）2+（y-1）2=1，則兩圓的外公切線段長等于
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知實數(shù) x，y 滿足方程x2+y2-4x+1=0，則
y
x
的取值范圍
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an2-nan+1，n∈N*，通過計算a2，a3，a4…可猜想出an的通項公式an=
 
．

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