Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為3，點E在AA₁上，點F在CC₁上，且AE=FC₁=1，
（1）求證：E、B、F、D₁四點共面；
（2）若點G在BC上，BG=

2

3

，點M在BB₁上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

分析：（1）在DD₁上取點N，使DN=1，連接EN，CN，易得四邊形ADNE是平行四邊形，以及四邊形BCNE是平行四邊形，由此推知CN∥BE，則FD₁∥BE，得到E、B、F、D₁四點共面；
（2）欲證EM⊥平面BCC₁B₁，而AB⊥平面BCC₁B₁，可先證AB∥EM，而易證ABME為平行四邊形．

解答：證明：（1）如圖，在DD₁上取點N，使DN=1，連接EN，CN，
則AE=DN=1，CF=ND₁=2，
因為AE∥DN，ND₁∥CF，所以四邊形ADNE是平行四邊形，
從而EN

∥ .

.

AD，FD₁∥CN，又因為AD

∥ .

.

BC，所以EN

∥ .

.

BC，
故四邊形BCNE是平行四邊形，由此推知CN∥BE，從而FD₁∥BE，
所以E、B、F、D₁四點共面；
（2）如圖，GM⊥BF，又MB⊥BC，所以∠BGM=∠CFB，
BM=BG•tan∠BGM=BG•∠CFB=BG•

BC

CF

=

2

3

•

3

2

=1，
因為AE

∥ .

.

BM，所以ABME為平行四邊形，從而AB∥EM，又AB⊥平面BCC₁B₁，
所以EM⊥平面BCC₁B₁．

點評：本題主要考查了了共面的判定，以及直線與平面垂直的判定，考查對基礎知識的綜合應用能力和基本定理的掌握能力．