Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，側(cè)面是邊長為2的等邊三角形，點是的中點，且平面平面．

（I）求異面直線與所成角的余弦值；

（II）若點在線段上移動，是否存在點使平面與平面所成的角為？若存在，指出點的位置，否則說明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）不存在，理由見解析．

【解析】

試題分析：根據(jù)題設(shè)條件取中點，以為坐標原點，為軸，為軸建立空間直角坐標系．（I）利用向量法可求得異面直線與所成角的余弦值．（II）首先設(shè)存在點，且,根據(jù)三點共線，利用向量法求得點，然后利用面面角為直角，由法向量構(gòu)建方程，可求得不符合題意，所以不存在．

試題解析：（I）因為平面平面，底面是菱形，，

故，取中點，則，，．

以為坐標原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，，，，，，．………………2分

，，

則，，．

設(shè)異面直線與所成角為，，

所以異面直線與所成角的余弦值為．………………6分

（II）設(shè)存在點，使平面與平面所成的角為，

設(shè)，因為三點共線，，，，

所以，，，

設(shè)平面的一個法向量為，，

令，，．………………8分

設(shè)平面的一個法向量為，，

令，，，又．………………10分

若平面與平面所成的角為，則，

故，即，此時，點在延長線上，

所以在邊上不存在點使平面與平面所成的角為．………………12分