【題目】已知橢圓： 過點(diǎn)， ， 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線交橢圓于， ，求內(nèi)切圓面積的最大值和此時(shí)直線的方程.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），直線l的方程為，

【解析】試題分析：（1）由條件可設(shè)處圓的方程，根據(jù)直線和圓相切得到，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上得到橢圓方程；（2）由，故求△面積的最大值即可，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到二次方程，根據(jù)弦長公式和點(diǎn)線距得到，分析單調(diào)性可求出最值。

解析：

（Ⅰ）以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓的方程為，

由題意， ，所以．

∵點(diǎn)在橢圓上，∴，解得，

∴橢圓C的方程為．

（Ⅱ）由，

根據(jù)橢圓定義， ，所以，

于是求△內(nèi)切圓面積的最大值即為求△面積的最大值．

設(shè)直線l的方程為， ， ，則

消去得，所以， ．

因?yàn)?/span>，點(diǎn)到直線的距離為，

所以△的面積為 ．

令 ，則．

∵在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)， 取得最大值為3，

此時(shí)，直線l的方程為，

內(nèi)切圓的半徑為，所以內(nèi)切圓面積的最大值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中分別表示直線的斜率，為常數(shù)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為．

（1）求的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與曲線順次交于四點(diǎn)，且，，是否存在這樣的直線，使得成等差數(shù)列？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某協(xié)會(huì)對(duì)，兩家服務(wù)機(jī)構(gòu)進(jìn)行滿意度調(diào)查，在，兩家服務(wù)機(jī)構(gòu)提供過服務(wù)的市民中隨機(jī)抽取了人，每人分別對(duì)這兩家服務(wù)機(jī)構(gòu)進(jìn)行獨(dú)立評(píng)分，滿分均為分.整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以為組距分成組：，，，，，，得到服務(wù)機(jī)構(gòu)分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表，服務(wù)機(jī)構(gòu)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖：

定義市民對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”如下：

分?jǐn)?shù)

滿意度指數(shù)

0

1

2

（1）在抽樣的人中，求對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)評(píng)價(jià)“滿意度指數(shù)”為的人數(shù)；

（2）從在，兩家服務(wù)機(jī)構(gòu)都提供過服務(wù)的市民中隨機(jī)抽取人進(jìn)行調(diào)查，試估計(jì)對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”比對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”高的概率；

（3）如果從，服務(wù)機(jī)構(gòu)中選擇一家服務(wù)機(jī)構(gòu)，以滿意度出發(fā)，你會(huì)選擇哪一家？說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，且.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）設(shè)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）如果當(dāng)，且時(shí)， ，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)．

(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】年底某購物網(wǎng)站為了解會(huì)員對(duì)售后服務(wù)（包括退貨、換貨、維修等）的滿意度，從年下半年的會(huì)員中隨機(jī)調(diào)查了個(gè)會(huì)員，得到會(huì)員對(duì)售后服務(wù)的滿意度評(píng)分如下：

根據(jù)會(huì)員滿意度評(píng)分，將會(huì)員的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：

滿意度評(píng)分

低于分

分到分

不低于分

滿意度等級(jí)

不滿意

比較滿意

非常滿意

（1）根據(jù)這個(gè)會(huì)員的評(píng)分，估算該購物網(wǎng)站會(huì)員對(duì)售后服務(wù)比較滿意和非常滿意的頻率；

（2）以（1）中的頻率作為概率，假設(shè)每個(gè)會(huì)員的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立.

（i）若從下半年的所有會(huì)員中隨機(jī)選取個(gè)會(huì)員，求恰好一個(gè)評(píng)分比較滿意，另一個(gè)評(píng)分非常滿意的概率；

（ii）若從下半年的所有會(huì)員中隨機(jī)選取個(gè)會(huì)員，記評(píng)分非常滿意的會(huì)員的個(gè)數(shù)為，求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓的離心率為，過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線截拋物線所得的弦長為.

（1）求橢圓和拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線恒過一定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性.

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意恒成立？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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