Question

對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示x的整數(shù)部分，即[x]是不超過x的最大整數(shù)．那么[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂512]=

3595

．

Answer 1

分析：先根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷[log₂1]、[log₂2]、[log₂4]…[log₂512]的大小，最后加起來即可．

解答：解：∵log₂1=0，log₂2=1，log₂4=2，log₂512=log₂2⁹=9，
∴當(dāng)2^n-1≤x＜2ⁿ時(shí)，[log₂x]=n-1，
即[log₂2]=[log₂3]=1，[log₂4]=[log₂5]=[log₂6]=[log₂7]=2，…
∴[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂512]
=0+1×（2²-2¹）+2×（2³-2²）+3×（2⁴-2³）+4×（2⁵-2⁴）+5×（2⁶-2⁵）+6×（2⁷-2⁶）+7×（2⁸-2⁷）+8×（2⁹-2⁸）+9
=1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×64+7×128+8×256+9=3595
故答案為：3595．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及新定義的理解與應(yīng)用．綜合性較強(qiáng)．