Question

已知函數(shù)f(x)=

1

x

+clnx的圖象與x軸相切于點(diǎn)S（s，0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l相切于點(diǎn)T（t，f（t）），且f（t）≠0，證明：1＜t＜e；（注：e是自然對(duì)數(shù)的底）

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f(x)=

1

x

+clnx的圖象與x軸相切于點(diǎn)S（s，0），建立方程，可求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）由切線過(guò)點(diǎn)T（t，f（t））得到關(guān)于實(shí)數(shù)t的方程

2

t

+elnt-e=0，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=

2

t

+elnt-e的零點(diǎn)區(qū)間判定問(wèn)題，排除零點(diǎn)在區(qū)間(0，

2

e

]內(nèi)是該題的一個(gè)難點(diǎn)（在（Ⅰ）的啟發(fā)下，想到

1

e

是區(qū)間(0，

2

e

]內(nèi)的唯一零點(diǎn)，但因f(

1

e

)=0而排除）．

解答：（Ⅰ）解：由f(x)=

1

x

+clnx，得f′(x)=-

1

x2

+

c

x

．…（1分）
∵函數(shù)f(x)=

1

x

+clnx的圖象與x軸相切于點(diǎn)S（s，0），
∴f′(s)=-

1

s2

+

c

s

=

cs-1

s2

=0，…①且f（s）=

1

s

+clns=0…．②…（2分）
聯(lián)立①②得c=e，s=

1

e

．…（3分）
∴f(x)=

1

x

+elnx．…（4分）
（Ⅱ）證明：求導(dǎo)函數(shù)得f′(x)=-

1

x2

+

e

x

．
∵函數(shù)f(x)=

1

x

+clnx的圖象與直線l相切于點(diǎn)T（t，f（t）），直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴直線l的方程為：y=(-

1

t2

+

e

t

)x，
又∵T在直線l上，∴實(shí)數(shù)t必為方程

2

t

+elnt-e=0…．③的解．…（5分）
令g(t)=

2

t

+elnt-e，則g′(t)=-

2

t2

+

e

t

=

et-2

t2

，
解g′（t）＞0得t＞

2

e

，g′（t）＜0得0＜t＜

2

e

．
∴函數(shù)y=g（t）在(0，

2

e

]遞減，在(

2

e

，+∞)遞增．…（7分）
∵g(

1

e

)=0，且函數(shù)y=g（t）在(0，

2

e

)遞減，
∴t=

1

e

是方程

2

t

+elnt-e=0在區(qū)間(0，

2

e

]內(nèi)的唯一一個(gè)解，
又∵f(

1

e

)=0，∴t=

1

e

不合題意，即t＞

2

e

．…（8分）
∵g（1）=2-e＜0，g(e)=

2

e

＞0，函數(shù)y=g（t）在(

2

e

，+∞)遞增，
∴必有1＜t＜e．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點(diǎn)、解不等式、直線方程和三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想．