Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，且橢圓C與橢圓C1：

x2

4

+

y2

8

=1的離心率相同，過F₁的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長為4

2

，那么橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，△ABF₂的周長為4

2

，即BF₂+AF₂+BF₁+AF₁=4

2

，結(jié)合橢圓的定義，有4a=4

2

，即可得a的值；又由橢圓的離心率，可得c的值，進(jìn)而可得b的值；由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，可得橢圓的方程．

解答：解：根據(jù)題意，△ABF₂的周長為4

2

，即BF₂+AF₂+BF₁+AF₁=4

2

；
根據(jù)橢圓的性質(zhì)，有4a=4

2

，即a=

2

；
橢圓C1：

x2

4

+

y2

8

=1的離心率為

2

2

，即

c

a

=

2

2

，則a=

2

c，
將a=

2

c，代入可得，c=1，則b²=a²-c²=1；
則橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
故答案為：

x2

2

+y2=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)，此類題型一般與焦點(diǎn)三角形聯(lián)系，難度一般不大；注意結(jié)合橢圓的基本幾何性質(zhì)解題即可．