Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx（a，b，c∈R）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為-

a

2

，且a＞2c＞b．
（1）證明：-2＜

b

a

＜-1．
（2）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx（a，b，c∈R）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為-

a

2

，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到a，b，c的一個(gè)方程，由a＞2c＞b，根據(jù)不等式的性質(zhì)尋求關(guān)于a，b的不等式；
（2）求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（0，2）內(nèi)的零點(diǎn)情況，可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=ax2+bx+c，f′(1)=-

a

2

∴3a+2b+2c=0①
又∵a＞2c＞b，∴3a+2b+2c＜3a+2a+a=6a
結(jié)合①得a＞0
由①得2c=-3a-2b，∵a＞2c＞b，∴a＞-3a-2b＞b，
∵a＞0∴1＞-3-2•

b

a

＞

b

a

∴-2＜

b

a

＜-1
（Ⅱ）由①得∴f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=a-c，
（1）當(dāng)c≤0時(shí)，∵a＞0，∴f′(1)=-

a

2

＜0且f'（2）=a-c＞0，∴f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)．
（2）當(dāng)c＞0，∵a＞0，∴f'（0）=c＞0且f′(1)=-

a

2

＜0，∴f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)．
綜合1°和2°得，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：考查不等式的基本性質(zhì)，由一個(gè)等式和一個(gè)不等式，探討-2＜

b

a

＜-1成立，難度較大，有效的考查靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．