Question

25、已知a，b，c∈R，函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，g（x）=ax+b，當(dāng)-1≤x≤1時，|f（x）|≤1，
求證：①|(zhì)c|≤1．
②當(dāng)-1≤x≤1時，|g（x）|≤2．

Answer 1

分析：①中因為C為函數(shù)解析式的常數(shù)項，則C=f（0），由些證明C的范圍可轉(zhuǎn)化為f（0）的范圍
②中由于a值不確定，因此要對a進行分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)為a與0的關(guān)系；在每種情況中結(jié)合g（x）的單調(diào)性與①中結(jié)論不難給出結(jié)論．
注意：分類討論后一定要有總結(jié)的過程，此步驟雖無實際作用，但不可缺少．

解答：證明：①∵當(dāng)-1≤x≤1時，|f（x）|≤1，
令x=0得|c|=|f（0）|≤1，即|c|≤1．②當(dāng)a＞0時，g（x）=ax+b在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴g（-1）≤g（x）≤g（1），
又∵|f（x）|≤1（-1≤x≤1），|c|≤1，
∴g（1）=a+b=f（1）-c≤|f（1）|+|c|≤2，
g（-1）=-a+b=-f（-1）+c≥-（|f（-1）|+|c|）≥-2，
由此得|g（x）|≤2；
同理 當(dāng)a＜0時，g（x）=ax+b在[-1，1]上是減函數(shù)，
∴g（-1）≥g（x）≥g（1），
又∵|f（x）|≤1（-1≤x≤1），|c|≤1，
∴g（-1）=-a+b=-f（-1）+c≤|f（-1）|+|c|≤2，
g（1）=a+b=f（1）-c≥-（|f（1）|+|c|）≥-2，
由此得|g（x）|≤2；
當(dāng)a=0時，g（x）=b，f（x）=bx+c．
∵-1≤x≤1，
∴|g（x）|=|f（1）-c|≤|f（1）|+|c|≤2．
綜上得|g（x）|≤2．

點評：在高中階段由于研究函數(shù)的角度與初中階段相比有所變化，因此同樣對二次函數(shù)來說，高中研究的主要是二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，如單調(diào)性、對稱性等，因此解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并注意和方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等高中重要數(shù)學(xué)思想之間的緊密聯(lián)系．