Question

矩形ABCD中，AD=2，AB≥AD，E為AD的中點(diǎn)，P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)∠DPE取得最大時(shí)，AP等于（　　）

• A．2
• B．

  3

• C．

  2

• D．1

Answer 1

分析：設(shè)AP=x，x＞0，設(shè)∠DPE=θ，則易知0°＜θ＜60°，在△DPE中利用余弦定理可表示出cosθ，然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)sinθ的最大值問(wèn)題即可解決．

解答：解：設(shè)AP=x，則x＞0，由題意知，DE=1，PE=

1+x2

，PD=

4+x2

，
可以看出三邊中其中DE最短，所以其對(duì)應(yīng)的∠DPE最小，設(shè)∠DPE=θ，則0°＜θ＜60°，
由余弦定理得：cosθ=

(1+x2)+(4+x2)-1

2 (1+x2)(4+x2)

=

x2+2

(1+x2)(4+x2)

，
sin²θ=1-cos²θ=1-

(x2+2)2

(1+x2)(4+x2)

=

x2

(1+x2)(4+x2)

，
因?yàn)閟inθ在0°＜θ＜60°時(shí)為單調(diào)梯增函數(shù)，要使θ最大，即sinθ，最大就可，
sin²θ=

1

x2+ 4 x2 +5

，而x2+

4

x2

+5≥2

x2• 4 x2

+5=9，
當(dāng)且僅當(dāng)x2=

4

x2

即x=

2

時(shí)取等號(hào)．
則sin2θ≤

1

9

，所以sinθ≤

1

3

，當(dāng)x=

2

時(shí)取等號(hào)，即θ取得最大值，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了余弦定理、函數(shù)最值的求解及函數(shù)思想，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．